[2016년 백마고]

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[1학년 2학기 중간]

두 집합 [eqn: A= left{`x`|`x ^2 -x-6<0 right}], [eqn: B=left{`x`|`x ge 2k-3 right}]에 대하여 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로소가 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 최솟값은? [3.7점]

⑤

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: -1]보다 큰 모든 실수의 집합에서 정의된 두 함수
[eqn: f(x)= { x} over {x+1 }], [eqn: g(x)= sqrt { x+1}]
에 대하여 [eqn: (g circ (f^-1 circg)^-1 circg)(0)]의 값은? [3.7점]

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: x!=2], [eqn: x!=-5]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: { a} over { x-2}+ { b} over {x+5 } = { 3x+2} over {x^2 +3x-10 }]
이 항상 성립할 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3.8점]

①

① [eqn: -{ 5} over {7 }]	② [eqn: - {3} over {7}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {3} over {7}]	⑤ [eqn: {5} over {7}]

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 [eqn: p`->`simq], [eqn: simr`->`q]가 모두 참일 때, 참인 명제만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.8점]

④

ㄱ. [eqn: p`->`r]	ㄴ. [eqn: q`->`simp]

ㄷ. [eqn: r`->`q]	ㄹ. [eqn: simq`->`r]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

집합 [eqn: X=left{-1,```0,```1right], [eqn: Y=left{1,```2,```3,```4right}]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 중 [eqn: f(-1)<f(1)]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는? [3.9점]

④

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

전체집합 [eqn: U]의 세 부분집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]가 있다.
[eqn: U=left{`x`|`x는```10```이하의```자연수 right], [eqn: A=left{`x`|`x는```2의```배수 right],
[eqn: B=left{`x`|`x는```3의```배수 right], [eqn: C= LEFT { `x`|`x는```5의```배수 RIGHT }]
에 대하여 연산 [eqn: triangle]을 [eqn: A triangleB=(A cupB)-(A capB)]로 정의할 때, 집합 [eqn: A triangle(B cupC)^c]의 모든 원소의 합은? [3.9점]

②

① [eqn: 13]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 38]

두 집합 [eqn: A= left{-1,```0,```1 right}], [eqn: B= left{`x-y`|`x inA,```y inA right]에 대한 설명 중 옳은 것은? [4.0점]

④

① [eqn: 0 notIN B]	② [eqn: A=B]	③ [eqn: B-A = emptyset]

④ [eqn: n(A cupB)=5]	⑤ [eqn: (A-B)capA=A]

함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x)= cases{ -x+3& ```(x ge1)# x^2 -2x+3&```(x<1) }]
일 때, 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (f circg)(x)=x]를 만족시키는 함수 [eqn: g(x)]가 존재한다. [eqn: (g circg)(a)=4]일 때, 실수 [eqn: a]의 값은? [4.1점]

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

참인 명제만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.1점]

⑤

ㄱ. [eqn: 3]의 배수는 [eqn: 9]의 배수이다.

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 >x-1]이다.

ㄷ. [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 실수일 때,

[eqn: a+b+c=6], [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =12]이면,

[eqn: a=b=c=2]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

[eqn: x>0], [eqn: y>0]이고, [eqn: x+2y-2=0]일 때, [eqn: sqrt { x }+ sqrt { 2y}]의 최댓값은? [4.2점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt { 6}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 2sqrt { 6}]	⑤ [eqn: 6]

어떤 반 학생 [eqn: 40]명을 대상으로 교내 체육 대회에서 축구, 배구, 농구 경기에 참여한 학생 수를 조사하였더니 각각 [eqn: 14]명, [eqn: 16]명, [eqn: 19]명이었다. 축구와 배구를 동시에 참여하는 학생은 [eqn: 5]명, 배구와 농구를 동시에 참여하는 학생은 [eqn: 4]명, 농구와 축구를 동시에 참여하는 학생은 [eqn: 6]명이다. 모든 경기에 참여하는 학생 수와 어떠한 경기에도 참여하지 않는 학생 수가 같을 때, 축구 경기에만 참여하는 학생 수는? [4.2점]

④

① [eqn: 3]명	② [eqn: 4]명	③ [eqn: 5]명

④ [eqn: 6]명	⑤ [eqn: 7]명

함수 [eqn: f(x)= sqrt { ax-b} +c]의 그래프가 그림과 같을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: g(x)= { ax+b} over { x+c}]의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f(0)=3], [eqn: f(2)=1]) [4.3점]

③

ㄱ. 그래프가 제[eqn: 1]사분면을 지나지 않는다.

ㄴ. 평행이동을 하였을 때, [eqn: y= { 2} over { x}]와 일치한다.

ㄷ. 점근선의 방정식은 [eqn: x=-1], [eqn: y=-2]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: -2 le x le 3]에서 무리함수 [eqn: y=- sqrt { 7-x }+k]가 최솟값 [eqn: 3]을 가질 때, 최댓값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) [4.4점]

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

두 집합 [eqn: A=left{`x`|`x^3 -x^2 -4x+4=0 right], [eqn: B=left{`x`|`mx-2=x right}]에 대하여 [eqn: A cupB=A]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: m]의 값의 합은? [4.4점]

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: f(x)=2x^2 +4x+k (x ge -1)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]이 실근을 갖기 위한 상수 [eqn: k]값의 범위는? [4.5점]

②

① [eqn: k> { 9} over {8 }]	② [eqn: k le { 9} over { 8}]	③ [eqn: k ge { 9} over { 8}]

④ [eqn: k le { 9} over { 2}]	⑤ [eqn: k ge{ 9} over { 2}]

집합 [eqn: X= left{`x`|`0 le x le 1 right]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: f^2 =f circf], [eqn: f^3 =f^2 circ f], [eqn: f^4 =f^3 circ f], [eqn: cdots]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) +f ^{2} LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) +f ^{3} LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) +cdots+f ^{10} LEFT ( {1} over {4} RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: rmbarOA], [eqn: rmbarAB]는 선분이다.) [4.5점]

④

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 2]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= cases{ -3x& ```(|x| ge 1 )# ax^2 +bx-a&```(|x|<1) }]
가 일대일대응이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 최댓값 [eqn: M]과 상수 [eqn: b]의 값의 합 [eqn: M+b]의 값은? (단, [eqn: a!=0]) [4.5점]

①

① [eqn: -{ 3} over { 2}]	② [eqn: -{ 1} over {2 }]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 3over2]

서술형

귀류법을 이용하여 [eqn: sqrt { 2}]는 무리수임을 증명하시오. [10.0점]

[eqn: sqrt { 2}]를 유리수라고 가정하면 서로소인 정수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여

[eqn: sqrt { 2} = { q} over {p }]로 나타낼 수 있다. [eqn: 2p^2 =q^2]에서 [eqn: q]는 [eqn: 2]의 배수가

되고, [eqn: q=2k]라 두면 [eqn: 2p^2 =(2k)^2]에서 [eqn: p^2 =2k^2], [eqn: p]도 [eqn: 2]의 배수가

된다. 이는 [eqn: p]와 [eqn: q]가 서로소인 정수라는 가정에 모순이다.

두 조건 [eqn: p: { sqrt { x} } over { sqrt { x-5} }=- sqrt { { x} over {x-5 } }], [eqn: q:|x-a|ge3]에 대하여 [eqn: simq]가 [eqn: p]이기 위한 필요조건일 때, 상수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하고 그 풀이과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 2 le a <3]

[eqn: f(x)= sqrt { ax+b}+ c]의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: f(-1)=4]이고 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.) [총 10.0점]

(1) [eqn: a=b], [eqn: c=4]

(2) 최솟값 [eqn: 7],   [eqn: a=b=-2]일 때,

(1) [eqn: a]와 [eqn: b]의 관계식과 [eqn: c]의 값을 구하고, 그 풀이과정을

서술하시오. [3.0점]

(2) (1)을 이용하여 [eqn: { -a^2 +3b-c} over { a}]의 최솟값과 그 때의

[eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오. [7.0점]

[2016년 백마고]

[1학년 2학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com